Примирение

Максвелла и Больцмана

Лошмидтом и Циолковским

Филиппов В.Ю., инженер

Рассмотрению и объединению (примирению) подлежат два исходных представления о стационарном и равновесном состоянии газа в поле потенциальных сил:

- Максвелла и Больцмана - об изотермичности;

- Лошмидта и Циолковского - о наличии температурного градиента.

1. Исходные представления.

1.1. Представление Максвелла и Больцмана в общей форме:

где: T - абсолютная температура; Z – высота в поле тяжести или по аналогии - расстояние в потенциальном поле другой физической природы.

1.2. Представление Лошмидта и Циолковского:

в общей форме:

формула Лошмидта, согласно [1], стр. 80:

Т_z = Т₀ + aZ , (3)

где Т_z - температура на высоте Z, Т₀ - температура на уровне Земли, a - постоянная, зависящая от атомного веса газа;

формула Циолковского для атмосферы Земли, согласно [2], стр. 27-28 и [3], стр. 52:

где: g – ускорение свободного падения или напряжённость поля иной природы, взаимодействующего с молекулами газа; c_v– удельная теплоемкость газа при постоянном объёме.

2. Объединяющее (примиряющее) представление:

3. Обоснование объединяющего (примиряющего) представления согласно формулы (5.1).

3.1. Правдоподобность и ограниченность исходных представлений.

3.1.1. Правдоподобность представления Максвелла и Больцмана состоит в том, что изотермичность газа в поле сил согласно формулы (1) можно признать как реальную термодинамическую тенденцию в модели с определённым (но не с универсальным!) порядком рассмотрения, а именно для части молекул, расположенных НАД произвольной контрольной горизонтальной поверхностью, и начинающих движение от неё вверх (Рис.1), например, со дна сосуда (где принимается распределение Максвелла) и возвращающихся обратно к поверхности, что подтверждается вычислениями, выполненными методом пробных частиц для бесстолкновительного режима.

Действительно, в указанной модели, более «холодные» (малоскоростные) молекулы из максвелловского распределения не могут подняться со дна или от любой другой контрольной горизонтальной поверхности, на высоту, которой достигают более «горячие» молекулы, что безусловно даёт, соответствующее действительности, увеличение плотности внизу и модельную изотермичность по высоте.

Ограниченность данной модели состоит в том, что изначально допускается недопустимое, а именно то, что молекулы бесстолкновительно, из исходного состояния внизу, характеризующегося распределением Максвелла, поднимаются вверх, сохраняя на этом пути как бы пронумерованность своей судьбы, в то время как на самом деле каждая молекула калейдоскопически, с частотой порядка нескольких миллиардов столкновений в секунду меняет своё состояние.

3.1.2. Правдоподобность представления Лошмидта и Циолковского состоит в том, что НЕеизотермичность газа в поле сил согласно формулы (4) можно признать как реальную термодинамическую тенденцию в модели, с определённым (но не с универсальным!) порядком рассмотрения, а именно для части молекул, расположенных ПОД произвольной контрольной горизонтальной поверхностью, и начинающих движение от неё вниз (Рис.2), например, от верха сосуда и возвращающихся обратно к поверхности, что следует непосредственно из закона сохранения энергии.

Действительно, (по Циолковскому, [3]) при рассмотрении падения массы m с высоты ∆Z происходит изменение потенциальной энергии газа ∆П на величину ∆П = -mg∆Z. Это изменение потенциальной энергии молекул газа в соответствии с законом сохранения энергии соответствует изменению кинетической энергии молекул газа, т.е. приводит к сообщению газу тепла ∆Q = mc_v∆T.

В этом равенстве Циолковский использовал c_v (теплоёмкость газа при постоянном объёме), отмечая при этом: «Хотя часть работы при падении, как будто тратится на сжатие газа, но в сущности этой работы нет, так как предполагая равновесие атмосферы, - нигде не происходит ни сжатия, ни расширения газа». [2], стр. 27 и [3], стр. 52.

Приравнивая правые части приведённых выше равенств, получим значение вертикального температурного градиента в атмосфере ∆T/∆Z = -g/c_v или dT/dZ = -g/c_v.

Ограниченность данной модели состоит в том, что она ничего не говорит о механизме повышенной плотности внизу. При этом модель Циолковского является также бесстолкновительной в части выражения mg∆Z, которое оценивает энергию молекул при их бесстолкновительном падении в пределах всей высоты ∆Z.

3.2. Объединение правдоподобных представлений.

Для получения полной картины (Рис. 3) или во всяком случае модели более приближённой к действительности или если угодно более правдоподобной, необходимо совместить, на условии вязкостного взаимодействия, вышерассмотренные термодинамические тенденции-модели, каждая из которых отражает часть реальности (бесстолкновительная изотермическая модель Максвелла и Больцмана и отчасти бесстолкновительная неизотермическая модель Циолковского).

Совместим потоки в следующих фазах - изотермический (Максвелл-Больцмановский) в фазе подъёма и неизотермический (Лошмидт-Циолковского) в фазе падения. Совмещённые потоки молекул с неизбежностью будут взаимодействовать между собой по условиям вязкости, при этом кинетическая энергия молекул, обусловленная их падением в поле сил: mc_v∆T = -mg∆Z должна равнораспределяться между падающим и поднимающимся потоками, что соответствует принципу молекулярно-кинетичекой теории газов - равнораспределения по степеням свободы.

Можно сказать, что потенциальная энергии -mg∆Z равнораспределяется по двум (вверх и вниз) степеням несвободы, обусловленным полем сил.

При этом, если мы возьмём изолированную колонну (Рис. 3) и расположим её горизонтально, то есть обеспечим её изотермичность, а затем начнём поворачивать до вертикального положения, то степени несвободы будут служить своего рода мостом для перераспределения потенциальной энергии -mg∆Z по степеням свободы молекул газа.

В совмещённой модели определенно надо представлять, что поднимающийся и падающий потоки имеют равные и противоположно направленные массовые расходы через любую горизонтальную поверхность (Рис. 3), так как на самом деле никакого макроподъема и макропадения не происходит.

На основании вышесказанного можно откорректировать формулу Циолковского (4) простым введением «2» в знаменатель правой части уравнения и получить формулу (5.1):

Такой же результат получается, если совместить изотермический поток в фазе падения с неизотермическим в фазе подъёма (с торможением).

Расчёт по формуле (5.1) температурного градиента в тропосфере Земли:

даёт хорошее приближение к известному наблюдаемому градиенту -6.5 K/км.

Отклонение рассчитанной величины от наблюдаемой может объясняться совместным действием конвективного сухоадиабатического массопереноса (циркуляции, увеличивающей температурный градиент в соответствии с известной формулой dT/dZ = -g/c_p) и паров воды (уменьшающих температурный градиент).

Барометрическая формула, с учётом стационарной (не конвективной и не адиабатической) зависимости температуры от высоты:

где: p(Z) – функция давления от высоты, p₀ – давление у поверхности Земли, T₀ – температура у поверхности Земли, Cv – молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме, M – молярная масса воздуха, R_m – универсальная (молярная) газовая постоянная, R – газовая постоянная воздуха.

По поводу распределения молекул по скоростям - можно считать его пока невыясненным и согласиться с позицией Лошмидта, приведённой Опариным Е.Г. в статье «О забытой научной дискуссии между Л. Больцманом и Й. Лошмидтом», [1], стр. 78-79 (далее ссылки сохранены по первоисточнику):

«На это Й. Лошмидт неоднократно обращал внимание и в IV статье подчеркивал:

«Единственно, что мы точно знаем, что столкновения сами по себе в массе газа повсюду приводят к одной и той же плотности, влекут за собой распределение Максвелла. Мы также твердо знаем, что сила тяжести эту неоднородную плотность разрушает и устанавливает стационарно неоднородную плотность. Сохраняется ли при этом распределение Максвелла безупречным мы не знаем» [4, IV, стр. 220].При этом Й. Лошмидт вполне обоснованно указывал, почему нельзя использовать распределение Максвелла для установления влияния сил тяжести. Подчеркивая, что распределение Максвелла получено из условия (предположения) отсутствия внешних сил, в частности - поля тяжести, Й. Лошмидт писал: «Теперь рассмотрим несколько подробнее масквелловский вывод этого столь важного закона распределения скоростей атомов. Он приведен на с. 185 цитированной выше статьи. Здесь сделано предположение, что большую часть времени молекулы газа движутся прямолинейно и, лишь когда две молекулы подходят очень близко друг к другу, начинают действовать молекулярные силы взаимодействия, и влияние их на движение обеих молекул при таких обстоятельствах можно описать с помощью теории центральных сил.

«Сразу видно, что при этом предположении взаимодействие внешних сил тяготения просто исключается. Ибо под действием сил тяготения траектории молекул между двумя столкновениями являются параболическими кривыми, и ни о каком применении теории центральных сил не может быть и речи.

«Таким образом, нельзя применять закон распределения, полученный в предложении об отсутствии внешних сил, а именно, сил тяготения, к задаче, в которой речь идет, как раз об установлении влияния сил тяготения» [4, 1, стр. 136-137].

К этому замечанию Й. Лошмидта следует добавить, что распределение Максвелла получено из условия постоянства температуры газа. Следовательно, оно справедливо и применять его следует только в этом случае. Поэтому применять распределение Максвелла при рассмотрении стационарного состояния газа в поле тяжести - это значит получать заведомо спорный, сомнительный результат.»

Можно наметить принцип, по которому следует уточнить распределение Максвелла, а именно - сохранить для горизонтальных проекций скоростей молекул распределение Максвелла, а для вертикального направления (направления действия потенциальных сил) перераспределить скорости с увеличением доли как «холодных» так и «горячих» молекул за счёт уменьшения доли «тёплых».

3.3. Сопоставление формул (5.1) и (5.2) ) с другими формулами.

3.3.1. Сравнение формулы (5.1) с формулами Яковлева В.Ф.

Вывод формулы (5.1) построен в своей основе на принципе Яковлева В.Ф. – совмещении потоков, обусловленных теплопроводностью, вязкостью и тяжестью ([3] глава 10, [4]). При этом представляется, что на финишной стадии вывода своих формул Яковлев В.Ф. испытывал затруднения, обусловленные имеющейся неопределённостью в соотношении вязкости с теплопроводностью и теплоёмкостью (([10], стр. 340).

Отличительной особенностью данной работы может считаться замена потока, обусловленного теплопроводностью (Яковлев В.Ф.) на изотермический модельный поток, что даёт более простое разрешение совместительного подхода Яковлева В.Ф.

3.3.2. Известна формула д.т.н. Э.Э. Шпильрайна и к.т.н. А.М. Семенова (сторонников и популяризаторов второго начала термодинамики) и приведённая с пояснениями в источнике [3], стр. 110-111:

«Если вертикально расположенную в поле земного тяготения адиабатически изолированную трубу заполнить газом с молекулярной массой М и мольной изобарной теплоемкостью Сp, то вследствие сжатия нижних слоев газа весом верхних слоев в столбе газа возникнут поля давления P(Z) и температуры T(Z), где Z - координата, отсчитываемая от нижнего конца трубы. Несложный расчет показывает, что

Уравнение (7) надо полагать получено из комбинации уравнения адиабаты

и уравнения гидростатического равновесия, получаемого при выводе барометрической формулы Больцмана

Приравнивая правые части уравнений получаем:

Формула (7) даёт температурный градиент для тропосферы Земли

dT/dZ = -Mg/C_p = -g/c_p = -9.81/1009 = -9.72x10^-3K/м = -9.72 K/км,

что весьма отличается от наблюдаемого -6.5 K/км. При этом имеющееся расхождение вряд ли может быть объяснено влиянием конденсирующихся паров воды, так как градиент -6.5 K/км (закладываемый кстати в реальные авиационные высотомеры), гораздо более стабилен чем непрерывно меняющиеся и зависящие от местности погодные условия, включая влажность.

К недостаткам формулы (7) можно отнести то, что сжатие полем сил подменено обычным адиабатическим сжатием и следовательно в таком подходе не отражается тенденция к изотермичности для восходящего потока молекул.

Подчеркнём, что формула (7) по физической сути отражает (в определённом приближении) не конвективный массоперенос (хотя формула для конвективного массопереноса такая же), а стационарный, равновесный градиент температуры - «…вследствие сжатия нижних слоев газа весом верхних слоев в столбе газа возникнут поля давления P(Z) и температуры T(Z)». Э.Э. Шпильрайн и А.М. Семенов ничего не говорят (в том числе далее по тексту) о релаксации, то есть о выравнивании поля температур теплопроводностью, как того требует нулевое начало термодинамики. И в этом смысле их формула как минимум не противоречит формуле (2) и является приближением к действительности, то есть к наблюдаемому в атмосфере Земли температурному градиенту –6.5 K/км.

Надо полагать, что Э.Э. Шпильрайн и А.М. Семенов знали о существовании стационарного равновесного температурного градиента в практически бесконвективной тропосфере Венеры и поэтому не могли себе позволить настаивать на изотермичности газа в поле сил.

(Оказывается проще слетать на Венеру и получить оттуда данные по неизотермичности газа в поле сил, чем провести нормальный эксперимент с адиабатической колонной, как это сделали (непризнанно) Колинз и Ван Вейль, Яковлев В.Ф. со товарищи на центрифуге, Graeff. Это тема может быть выделена отдельно для ген. прокуратуры.)

Одна только формула (7), пусть всего лишь в своём приближении к действительности, но тем не менее с физической сутью - стационарного равновесного градиента температуры в поле сил, - практически снимает неограниченность нулевого начала термодинамики, а заодно и неограниченность второго начала термодинамики, образуя таким образом братскую могилу для 18 формулировок последнего.

Необходимо также указать, что двойственная позиция сторонников неограниченности второго начала термодинамики, заключающаяся в существовании взаимоисключающих представлений согласно формулы (1) и формулы (7) является грубым нарушением логики или попросту напёрстничеством.

3.4. Экспериментальное подтверждение зависимости температуры от потенциальных сил.

3.4.1. Тропосфера Венеры.

Рассмотрение тропосферы Венеры обосновано тем, что здесь практически можно исключить влияние конвективного массопереноса, так как на Венере он почти отсутствует вследствие большой продолжительности венерианских суток, равных 116,8 земных и также исключить влияние паров воды, так как их содержание в атмосфере Венеры крайне незначительно. (Состав атмосферы Венеры: СО₂ –97%, N₂ – 2%, О₂ - 0,1%, Н₂О - 0,05%).

Температурный градиент для тропосферы Венеры по данным измерений лежит в диапазоне от –7.3 до –9.0 К/км, тогда как в связи с бесконвективностью или малой конвективностью, Максвелл-Больцмановский подход должен был бы давать изотермичность (согласно формулы (1)) или в крайнем случае какой-нибудь незначительный градиент, лежащий в пределах скажем от 0 до –4 К/км и обусловленный менее существенными факторами, чем конвекция.

Но поскольку данные измерений дают всё-таки существенный градиент, то это говорит о преимущественном действии механизма стационарного, Лошмидт-Циолковского, неконвективного градиента.

Мы вправе тем не менее подвергнуть некоторому сомнению вывод, следующий из рассмотрения тропосферы Венеры, в силу недостаточной изученности совокупности процессов в атмосфере Венеры и указать на необходимость большего набора данных в разнообразных экспериментах на Земле, где мы в состоянии гораздо лучше контролировать параметры состояния.

3.4.2. Опыт Яковлева В.Ф.

В.Ф. Яковлев не только различными способами теоретически доказал, что в потенциальных полях зависимость температуры от высоты должна быть линейной, но и экспериментально, на центрифуге, показал, что в потенциальном поле центробежных сил температура газа зависит от его потенциальной энергии (Яковлев В.Ф., Лаврентьев И.П., Сахаров Н.П. «Экспериментальное обнаружение стационарных градиентов температур во вращающихся газах», [4], стр. 42-45).

3.4.3. Перечень Заева Н.Е. - Антэнтропийные процессы в экспериментах - [5], стр. 5-7.

3.4.4. Володько Ю.И. Ламинарное истечение сжатого воздуха в атмосферу и бестопливный монотермический двигатель. ISSN 0869-2653. ЖРФМ Научный журнал Русского Физического Общества, № 1-12.

3.4.5. Опыт Graeff, Рис. 4, согласно http://www.firstgravitymachine.com/testresults.phtml

Рис.. 4

Красной линией отображён отрицательный градиент температуры в сосуде с воздухом и наполнителем, измеренный термопарой и записанный в течение полугода непрерывных измерений. Автор Graeff трактует полученные результаты слишком решительно (в количественном смысле), тем не менее статистически достоверный результат не оставляет сомнений для вывода о не подверженном релаксации градиенте температуры в поле сил.

3.4.6. Компьютерное моделирование: http://www.falstad.com/gas/

4. Формула энтропии воздуха тропосферы Земли с учётом силы тяжести.

Известна формула энтропии

Известны формулы для температуры (5.2) и давления (6.2) в поле сил, которые мы подставим в формулу (8) и получим формулу для энтропии газа в поле сил:

сократив p0 и сделав преобразования получим

Подставив справочные данные для нормального состояния воздуха получим формулу

а также график

Отметим, что рост энтропии с увеличением высоты (согласно (9.2) или (9.5)) принципиально закономерен, так как по мере удаления от Земли, в том числе в межпланетное пространство, растёт неупорядоченность газа вследствие резкого увеличения удельного объёма, а значит должна расти и энтропия (в данной работе не рассматривается разнообразие состояний верхних слоёв атмосферы, обусловленное дополнительными факторами).

5. Гравитационная причинность необходимости корректировки формулы χ/η = c_v.

Известна формула ([10], стр. 340, (89.8))

χ/η = c_v, (10)

где χ - коэффициент теплопроводности, η – коэффициент динамической вязкости и c_v – удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

Известна также формула ([10], стр. 340, (89.9))

χ/η = Аc_v, (11)

где А – численный коэффициент, полученный в опытах для разных газов и который колеблется в пределах от 1.44 до 2.57 (([10], стр. 340).

Вывод уравнения (10) сделан достаточно строго, но расхождение опыта (11) с теорией (10), причём существенное и одностороннее, в среднем в два раза, обязывает сделать предположение, что теория существенно не строга.

Введём в формулу (10), ставшую уже традиционной «2», но не как коэффициент, а как величину, отражающую физическую реальность модельных потоков (падающего и поднимающегося, рассмотренных в пункте 3.2.) и напишем формулу

χ/η = 2c_v . (12)

Формула (12) получена для модельных потоков как на основании их сходства (подобия) с реальными потоками, так и с учётом её органической связи с формулой (5.1), полученной для этих же потоков, при этом модельность потоков приобретает физическую реальность, подтверждающуюся согласованностью с опытными значениями коэффициента А.

По всей видимости, для реальных потоков в формулу (12) нужно добавить коэффициент B, отражающий реальность движения макропотоков, тогда как «2» будет отражать гравитационную природу состояния и соответственно гравитационную корректировку формулы (12)

χ/η = 2Bc_v . (13)

Таким образом, формула (5.1) получает дополнительное основание для своего существования и совместно с формулой (12) вскрывает прошитость состояния атмосферы её гравитационной причинностью, подтверждая необходимость рассмотрения самого факта существования локализованных объектов как следствия действия потенциальных сил.

Из сказанного также следует, что подтверждение справедливости формулы (12) может быть получено от обратного, а именно подтверждением справедливости формулы (10) в условиях невесомости (космосе).

Литература.

1. Опарин Е.Г. О забытой научной дискуссии между Л. Больцманом и Й. Лошмидтом. ISSN 0869-2653. ЖРФМ, Научный журнал русского физического общества, № 1-6, 1993.

World Wide Web: http://ruslabor.narod.ru/Oparin_diskuss.doc

2. Циолковский К.Э. Второе начало термодинамики. Журнал Русской Физической мысли (ЖРФМ), № 1, 1991.

3. Опарин Е. Г. Физические основы бестопливной энергетики. Ограниченность второго начала термодинамики. М.; Едиториал УРСС, 2003. – 136 с. ISBN 5-354-00297-4.

World Wide Web:

глава 10 http://ruslabor.narod.ru/Oparin_gl_10.doc,

глава 17 http://ruslabor.narod.ru/Oparin_gl_17.doc

4. Цикл работ профессора В.Ф. Яковлева по термодинамике, стр. 4-52. Яковлев В.Ф., Лаврентьев И.П., Сахаров Н.П. Экспериментальное обнаружение стационарных градиентов температур во вращающихся газах, стр 42-45. ISSN 0869-2653. ЖРФМ, Научный журнал русского физического общества, № 1-6, 1993.

World Wide Web:

http://ruslabor.narod.ru/Iakovlev..htm

http://ruslabor.narod.ru/Arhiv/Iakovlev.djvu

5. Заев Н.Е. Бестопливная энергетика (проблемы, решения прогнозы), 18.03.2001, Московская область, Салтыковка.

World Wide Web: http://ruslabor.narod.ru/Zaev_N.E._Bestopl.doc

6. Кухлинг Х. Справочник по физике. Москва «МИР», 1982.

7. Володько Ю.И. Ламинарное истечение сжатого воздуха в атмосферу и бестопливный монотермический двигатель. ISSN 0869-2653. ЖРФМ, Научный журнал Русского Физического Общества, № 1-12. 1998.

World Wide Web: http://ruslabor.narod.ru/Arhiv/volodko.djvu

8. Опыт Graeff. World Wide Web: http://www.firstgravitymachine.com/testresults.phtml

9. Компьютерное моделирование. World Wide Web:: http://www.falstad.com/gas/

10. 6. Сивухин Д.В. Термодинамика и молекулярная физика, том II. ФИЗМАТЛИТ, 1990, 2003, 2005.

___________________

19.02.2008 г. – 16.04.2008 г. Москва. Филиппов Владимир Юрьевич, инженер.